Progreção Aritimética.

Definição :

Progressão aritmética é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado com uma constante chamada razão da progressão aritmética.

Ex: (1,3,5,7,9..........) sua razão é dois pois o termo dianteiro somado a 2,é o resultado posterio.

(3,6,9,12,13..............)sua r:3

Soma do termo de uma P.A :

(-16, -14, -12, ...84)

Temos:

a1= -16
an =84
r= 2

Substituindo na fórmula do termo geral temos;

84= -16+(n-1)2
84+16=(n-1)2
100= 2n-2
100+2=2n
n=102/2

n= 51

A soma dos termos de uma PA e dada pela fórmula;

Sn= n(a1+an)/2

Substituindo temos:

S51= 51(-16+84)/2
S51= (51x68)/2
S51= 1734

Progressão Geométrica.

- Definição :

Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.

Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

- Expressão do termo geral :

Seja a PG genérica: (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a _n, ... ) , onde a₁ é o primeiro termo, e a_n é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:

a₂ = a₁ . q
a₃ = a₂ . q = (a₁ . q) . q = a₁ . q²
a₄ = a₃ . q = (a₁ . q²) . q = a₁ . q³

Infere-se (deduz-se) que: a_n = a₁ . q^n-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.

- Soma dos termo de uma P.G finita :

Progressão geométrica finita é uma PG que tem um número determinado de elementos. Por exemplo, a seqüência (3,6,12,24,48) é uma PG de razão igual a q = 2.

A soma dos temos dessa PG será 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93. Fazer essa soma é fácil, pois ela possui apenas cinco elementos, caso seja necessário somar os termos de uma PG com mais de dez elementos, o que é mais complicado, é preciso utilizar uma fórmula. Veja a sua demonstração:

Dada uma PG finita qualquer com n elemento, ou seja, com a quantidade de elementos indefinida. PG finita (a1, a2, a3, ... , an). A soma desses n elementos será feita da seguinte forma:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

Sabendo que a2 = a1 . q; a3 = a1 . q²; an = a1 . q^{n – 1}

Podemos dizer que a soma dessa PG será:

Sn = a1 + a1 . q + a1 . q² + a1 . q³ + ... + a1 . q^{n – 2} + a1 . q^{n – 1}.

- Soma do termo de uma P.G infinita :

Quando temos uma PG decrescente (0<1) podemos dizer que esta tem infinitos termos.

Veja no exemplo a PG de primeiro termo igual a 4 e razão q=1/2:

Note que a cada termo que passa vai diminuindo mais e mais, chegando quase perto de zero. O termo a₁₂ que vale 1/512 passando para decimais vale quase 0,002, e o termo a₁₃ é mais ou menos 0,001, quanto mais alta a ordem do termo mais perto de zero ele chega, passando a ser insignificante na soma final.

Por isso que podemos fazer a soma de todos os termos desta PG, mesmo ela tendo um número infinito de termos.